Robert Kaplan, Ellen Kaplanová: Umění nekonečna. Náš ztracený jazyk čísel.

Knihu vydalo nakladatelství Triton a je jednou z galerie populárních knih, které mají zpřístupňovat matematiku běžné populaci. Domnivám se, že většina čtenářů se ovšem bude rekrutovat z řad matematiků, učitelů matematiky a studentů matematiky

Kniha má devět kapitol, dodatek, seznam literatruy a rejstřík. První kapitola „Čas a mysl“ se zabývá čísly, trojúhelníkovými a čtvercovými čísly, rozšiřováním číselných oborů od přirozených ke komplexním číslům. Postup není příliš odlišný od toho, jak se to učí na středních školách, ale je tomu věnováno více prostoru, který se asi na školách nedostává. Od Pythagorovy věty se dostává čtenář k iracionalitě odmocniny ze 2, tedy nesouměřitelnosti úhlopříčky čtverce se stranou 1. Neboli, že existují i jiná čísla, než ta, která se dají vyjádřit jako poměr přirozených čisel. Druhá kapitola „Za co pokládáme tyto pravdy?“ začíná indickým důkazem Pythagorovy věty  a pokračuje součtem prvních n přirozených čísel a cituje úspěch krále matematiků Karla Gausse z jeho školních let a pokračuje historií objevu neeukleidovské geometrie  a snahou „zachránit čísla“. Otázkami matematické existence se zabýval David Hilbert. Autoři knihy seznamuji se základními zákony aritmetiky: existencí neutrálních prvků aditivního a multiplikativního a inverzních prvků, tak jak se to studenti učí v prvním ročníku univerzit. Nejen v této kapitole, ale v celé knize citují autoři celou řadu významných postav matematiky a jejich objevy. Přitom se neomezuje jen na evropskou matematiku, ale také arabskou, indickou atd.  Zmiňuje se o konfliktu mezi Brouwerem a Hilbertem a kapitola končí objevem brněnského rodáka Kurta Goedela, který v roce 1931 dokázal, že  nekonzistence a úplnost nemůže existovat uvnitř systému, jak to měl v plánu Hilbert. Třetí kapitola „Vzory na uzamčené truhle“  začíná Eukleidovým důkazem  nekonečnosti prvočísel a Erathostenovým sítem na prvočísla a pokračuje pravidelností výskytu prvočísel. Končí pak Goldbachovou hypotézou, starou 250 let, že každé sudé číslo od čísla 4 lze vyjádřit jako součet prvočísel.  Další, čtvrtá kapitola „Žabky“ na začátku cituje výrok Isaaca Newtona A  opět se zabývá  mnohoúhelníkovými čísly a důkazem jejich součty. Pokračuje od aritmetických posloupností k nekonečnu k geometrickým posloupnostem a jejím součtem. Další kapitola, pátá, „Jen sám Euklides“ se zabývá geometrií, postulátem o rovnoběžkách a součtem velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku, a dalšími vlastnostmi trojúhelníku, těžnic a výšek. Kapitola šest „Orel algebry“  se zabývá pravidelnými mnohoúhelníky a jejich konstrukcí  a pokračuje vlastnostmi tělesa T rozšířeného o odmocninu ze dvou. Rozvíjí studium vlastností kružnice v soustavě souřadnic v rovině a odvozením rovnice kružnice. Od vlastností kružnice je krůček k opětovnému studia pravidelných mnohoúhelníků a objevu Gausse o jejich konstruovatelnosti kružítkem a pravítkem. V kapitole 7 „Na Vysočinu“ autoři knihy seznamují čtenáře s  vlastnostmi algebraických křivek  od kvadratickým přes kubické a kvartické a jejich kořeny. Tudy vede cesta ke komplexním číslům a jejich objevu a odvozují se jejich vlastnosti. Pochopitelně se přitom využívají vlastnosti goniometrických funkcí. Odvozují se součtové vzorce, pravidla pro součet a součin komplexních čísel. Opět se zmiňují objevy indických matematiků, kteří kolem roku 1500 objevili nekonečné polynomy ekvivalentní sinu a kosinu, který znovuobjevil Newton v 17. století. Kapitola „Druhá strana obzoru“ začíná pojmy jako „úběžný bod“, což napovídá, že jde o perspektivu. Odtud je blízko k projektivní geometrii. Kniha cituje vědce, kteří stáli u jejího zformování, Victora Ponceleta, Girolamo Saccheriho. Většina matematiků nestudovali na univerzitě projektivní geometrií. Autor tohoto příspěvku jako učitel deskriptivní geometre ale ano, takže ani princip duality zmíněný v další části textu knihy pro mě nebyl žádnou velkou novinkou, rovněž Desargueosova věta či invariant projektivní geometrie, tedy dvojpoměr, neboli poměr poměrů. Kniha končí teorii množin v kapitole „Propast“ a líčí osudy nejen hlavního tvůrce teorie množin Georga Cantora. Jeho teorie, jak matematikové dobře vědí, byla zpočátku příjímána rozporuplně a nebohý Cantor nejen pro to, opakovaně skončil na psychiatrii. Počítání s nekonečnem, mohutnost množin, kardinální a ordinální čísla se ale brzo staly součástí matematiky. Stejně jako jeho diagonální metoda. Autoři  knihy citují nejen v této kapitole korespondenci mezi vědci, politiky, vědce z jiných oborů (Einstein). Cantor sám ke konci života usiloval o důkaz hypotézy kontinua. Jak uvádí kniha, rozjaření se střídalo s delšími a delšími depresemi, začal se zabývat rosekruciány, teosofií a svobodným zednářstvím.

Na konci knihy je „Dodatek“, který obsahuje technické detaily k některým kapitolám. Jako napřů důkaz indukcí součtu prvních n lichých celých čísel, důkazy některých vlastnosti aritmetických operací, součet převrácených hodnot prvočísel,  odvození vzorce pro řešení kvadratických rovnic, odmocniny z jedničky v oboru komplexních čísel, nezkonstruovatelnost pravidelného sedmiúhelníku kružítkem a pravítkem, odvození invariantnosti dvojpoměru v projektivní geometrii.

Kniha představuje doplněk k učebnicím matematiky a populárním způsobem objasňuje některé matematické poznatky, ale bez schopnosti rozumět matematickým textům, vzorcům a důkazům se čtenář neobejde.